算数 数学

ガロア理論の頂を踏む update 20190913

ガロア理論の頂を踏む

死ぬまでに「相対論」「量子論」「ガロア理論」のうちのひとつでも理解して、「なるほど、そうだったのか」と唸ってみたいと思いました。
相対論も量子論も理学・物理工学系の大学では初期の段階で学習するようですが、深くは追及していないようです。大学を卒業してから、なにかの拍子に思い出して「ああ、そいえばやったなぁ」という程度には習得しているハズなのです。進級すると専門が細かく分かれていきますので、2度とお目にかからない場合が大半です。それでも「我々が存在することの根源」に関わる最高レベルの理論です。

 

一方、ガロア理論はあまり馴染みのないものです。もしかすると、n次方程式を解かなければならない場面に直面したら(日常的にはそのような場面に遭遇する可能性は限りなくゼロです)お世話になるかもしれません。そもそも、そんな理論の存在を知っていて、さらに理解したいと思うのは、一般人の中に紛れている奇人・変人・宇宙人の類(たぐい)です。知らなくても生きていけます。むしろその理論よりもガロアというひとの人生を知って、天才を早死にさせてしまった理不尽な運命に溜息をついてしまいます。

 

さて、奇人・変人・宇宙人の類のわたくしとしましては、ガロア理論を理解したいと思い立ち、アマゾンを調べてみますと「ガロア理論の頂を踏む」という本があるのを知りました。このころアニメの「ハイキュウ」にハマっていましたので、頂(いただき)という言葉にロックオンしてしまいました。もはや運動系で頂を体験することはあり得ないけれど、研鑽を積めば体験できる頂があることを知ったのです。頂を見てみたいと思いました。

 

内容紹介の「本書は、「一般の5次方程式が根号で解けないことをきちんと証明する」ことを頂上(ピーク)として、そこに向かって一歩一歩、しっかりと登っていく本です。前提としているのは、高校数学の知識です。それがしっかりと理解できていれば読めるようになっています。ピークへの過程に出てくる定理には、証明が全て書いてあります。一番易しいルートを選択しながら、途中から急に難しくなることなく、最初から最後まで、同じ丁寧さで解説していきます。」に心惹かれました。

 

レビューの「私は理科というと生物が少々で、物理・数学はダメだ。この本、わからなくなったら前の頁に戻ったり帰ったり…。ともかく一回読むだけで、3カ月半…、何百時間をつぎ込んだんだろう?でも読み通せます!素人がガロア理論についてあこがれを抱いたとして、ひととおり最後まで読める本など、この本以外にはないでしょう。代数の基本の、その言い回しを理解するのだけでも、2か月はかかった! でもいまになってみると、そのあたりがもっとも熱中して読んでいました。・・・」に励まされました。

 

そして「ガロア理論の頂を踏む」を購入しました。

 

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最大公約数を求める

ユークリッドの互除法を体感する

昔は「アルゴリズム」といえば「ユークリッドの互除法」のことでした。
今では別の定義も与えられています。

 

自然数xとyの最大公約数を(x,y)と表します。
今、自然数aとb(a>b)について、aをbで割ったときの余りをrとしたとき
(a,b)=(b,r)です。
ただしr=a-c*b、cはrを負にしない最大の自然数。
本の中では証明が明示されていますが、ちょっと寄り道します。

 

ここで
(a,b)=(b,r[1])=(r[1],r[2])=(r[2],r[3])=(r[3],r[4])・・・
(ただし英文字の右に付随する数字[・]は添え字を表します)
とすると

 

r[1]=a-c[1]*b、
r[2]=b-c[2]*r[1]、
r[3]=r[1]-c[3]*r[2]、
r[4]=r[2]-c[4]*r[3]、
・・・
n=2が初項の数列で表せそうです。
すなわち
n=1:r[1]=-b*c[1]+a、
n=2:r[2]=b*(c[1]*c[2]+1)-a*c[2]、
n=3:r[3]=-b*(c[1]*c[2]*c[3]+c[3]+c[1])+a*(c[2]*c[3]+1)、
n=4:r[4]=b*(c[1]*c[2]*c[3]*c[4]+c[3]*c[4]+c[1]*c[4]+c[1]*c[2]+1)-a*(c[2]*c[3]*c[4]+c[4]+c[2])、
・・・

 

r[n]=0とするnのとき、最大公約数はr[n-1]である。
【例】
ここでa=851、b=185と置くと、
851/185=4(→c[1])・・・111(→r[1])、
185/111=1(→c[2])・・・74(→r[2])、
111/74=1(→c[3])・・・37(→r[3])、
74/37=2(→c[4])・・・0(→r[4])、

 

r[4]=0だからn=4なので、最大公約数はr[3]である。
すなわち
r[3]=-b*(c[1]*c[2]*c[3]+c[3]+c[1])+a*(c[2]*c[3]+1)

c[1]=4、c[2]=1、c[3]=1、c[4]=2を代入すると、
r3=-185*(4*1*1+1+4)+851*(1*1+1)
 =37
となり(851,185)=37を確認できた。

 

だから何?ってことです。
c[1]〜c[4]は割り算の商なので一意には決まらない。また、
r[n]の一般式は求まりそうにはなさそうです。
寄り道して、転んで膝を擦りむいて、骨折り損のくたびれ儲けです。

 

 

1次不定方程式を解く

この方程式の整数解を求めるときに互除法が使われるとのことです。
そもそも「互除法と互除法を使った1次不定方程式の解法については、高校までに習って大学受験に出る」、と別のところで読みましたが、私の経験では習った憶えも無いし、大学受験の数学練習問題でもお目にかかった記憶もありません。(ま、どうでもいいんですけど)