負×負＝正 update20081103
負×負＝正(1)
式だけ追跡していくだけでも、 負×負＝正 を見いだすことはできるのです。
ａ、ｂ＞０なる任意の実数ａ、ｂにおいて
ａ×０＝０
のとき
ａ＝２×ａ＋（−ａ）
０＝ｂ＋（−ｂ）
とおくと
〔２×ａ＋（−ａ）〕×〔ｂ＋（−ｂ）〕＝０
である
∴ ２×ａ×ｂ＋２×ａ×（−ｂ）
＋ （−ａ）×ｂ ＋ （−ａ）×（−ｂ）＝０
２×ａ×ｂ＋２×ａ×（−ｂ）＝０であるから
（−ａ）×ｂ＋（−ａ）×（−ｂ）＝０
両辺に ａ×ｂ を足すと
（−ａ）×（−ｂ）＝ ａ×ｂ
したがって 負×負＝正 であることが示されました。
しかし、式の変形では、腑に落ちない。
なんとなく、まやかしにあったような気がするのではないのでしょうか。
「借金 × 借金 ＝ 貯蓄」
になるような感覚をうち破る、
感覚的な説明が必要な気がするのです。
----- ここまで 20081101 -----
負×負＝正(2)
符号（＋，−）の意味を考えています。
１ 基準からの増減
２ 方向の反転
３ 意味の反転
いろいろな例を思い出してみて、思いつくままに意味を考えてみました。
上の３つでも、意味が重複しているぞ、と言われるかもしれませんし、
まだこんな意味がある、ということもあるでしょう。
足りない能力は許してもらって、
着目したいのは３番目の「意味を反転する」符号というところです。
具体的に記述してみます。
（＋１） × （＋ ３） ＝ ＋３
山がひとつ （そのままの意味で）その３倍 山が３つ
（＋１） × （− ３） ＝ −３
山がひとつ（反対の意味にして）その３倍 （山の反対の）穴が３つ
（−１） × （＋ ３） ＝ −３
穴がひとつ （そのままの意味で）その３倍 穴が３つ
（−１） × （− ３） ＝ ＋３
穴がひとつ（反対の意味にして）その３倍 （穴の反対の）山が３つ
直感的に分かるでしょうか。
----- ここまで 20081102 -----
負×負＝正（3)
ちなみに、「やりなおし基礎数学：小野田襄二著」では、
「第６章 負の数のかけ算はプラスか？」と、
１章をさいて記述しています。
最終的には、「プラスとマイナスの平面座標への発展」
という項目に発展させて、理解するように記述されています。
一方、「算数・数学が得意になる本：芳沢光雄著」では、
「第２部中学編 ２−２ 【負の数】を含む掛け算・割り算」と、
やはり１章をさいて記述しています。
この本の特徴は、
「乗除でつまずく者は、加減でつまずいていないか。」という問いを発し、
分からない子にはそこから丁寧に説明してやらなければ、
乗除は分からないとして、本当に丁寧に、
マイナスを含む加減の説明をしていることです。
芳沢氏は、多くの中学の先生と話し合ったところ、
「マイナス×マイナスがプラス」になることを理解させる
いくつかの方法があるうちで、最適なのは、
「 速さ × 時間 ＝ 距離 」
を用いることである、というのだそうです。
速さ＝(単位時間に進む距離)と(進んだ方向【右か左、東か西】)
時間＝(かかった時間)と(時間の方向【→未来か過去か】)
速さにも時間にも、単なる量のみではなくて、
進むのか（ｏｒ）戻るのか、何分後なのか（ｏｒ）何分前なのか、
方向の反転の意味を符号にもたせていることが分かります。
たとえば、太郎君の現在の地点（移動する距離の起点であり、
計測する時間の起点でもある）から、
・東を進む方向のプラスの向きとして
・何分後（未来）を時間の方向のプラスとする
と、次のようなことが、考えられます。
太郎が毎分５０ｍで歩くとすると
・東の方向に歩いているとき、６０分後の太郎君の移動距離
この場合、（東→プラス）、（後→プラス）ですから、
（＋５０）×（＋６０）で表せます。
答えは、東へ３０００ｍのところだから、
（＋５０）×（＋６０）＝（＋３０００）
・西の方向に歩いているとき、６０分後の太郎君の移動距離
この場合、（西→マイナス）、（後→プラス）で、
答えは西へ３０００ｍのところだから、
（−５０）×（＋６０）＝（−３０００）
・東の方向に歩いているとき、６０分前に太郎君がいたところ
この場合、（東→プラス）、（前→マイナス）で、
答えは西に３０００ｍのところだから、
（＋５０）×（−６０）＝（−３０００）
・西の方向に歩いているとき、６０分前の太郎君がいたところ
この場合、（西→マイナス）、（前→マイナス）で、
答えは東に３０００ｍのところだから、
（−５０）×（−６０）＝（＋３０００）
非常にイメージしやすい説明の要領だと思います。
「マイナスの数」ではなく、「マイナスの符号の意味」を理解すること、
これが重要だと思いました。
----- ここまで 20081103 -----