数の悪魔について update 20140806
★「数の悪魔」について
単行本は売れに売れてベストセラーだったようですが、手元にあるのは普及版としてペーパーバック化したものです。
2000年9月10日2刷となっていますが、2000年9月5日初刷となっていますから、ペーパーバック版も売れに売れたようです。
帯には「１０歳からみんな数学ぎらいが治ります。」とあり、「大反響、ぞくぞく！」として（１２歳男子）や（１５歳女子）から「面白くて分かりやすい」とか、「物語としても楽しく、イラストもかわいい」というメッセージがあったり、「小６と小４の息子がすっかりはまってしまった」（３７歳男性）というのもあります。
大人たちからも好評の様子です。
ところで「かずのあくま」と読むのでしょうか、「すうのあくま」と読むのでしょうか？
広辞苑では「数（かず）①一つ、二つ、三つなど、ものを個々にかぞえて得られる値。この概念（自然数）を拡張した抽象的概念（普通には「すう」と呼ぶ）をもいう。②・・・」とありますので、「すうのあくま」と読むのが状況に合っていそうです。
「１０歳から・・・」とありますが、日本では小学校高学年以上の読者を対象にした本なのだと思われます。
日本では小学校で学習する数学は算数という教科名で呼ばれています。中学から習う数学とは何が違うのでしょうか。
中学数学では、文字式を使うことで計算を一般化しています。この文字式で組み上げられた方程式を操ることで「鶴亀算」や「旅人算」から解放されます。
連立方程式の解法や2次方程式の一般解まで一気に進んでしまいます。算数とは、文字を使って数（かず）を抽象化した後の式の操作が戸惑うことなくできるようになるための準備の期間ということができるでしょう。
----- ここまで 20120201 -----
●第１夜
少年ロバートの夢の中に現れた「数の悪魔」。悪魔はまず「１」から始めました（はじめの一歩）。
すべては「１」を丹念に足し合わせていくことで表現されるのですね。
大きなほうの数は確かに１の足し算ですが、小さいほうの数は分数の分母を１から足し合わせることで表せることに気がつきました。
そして１～９の数字は、１のみで構成される数字の掛け算で作り出せるのでした。
１１１，１１１，１１１（９桁）×１１１，１１１，１１１（９桁）＝
１２，３４５，６７８，９８７，６５４，３２１（１７桁）
それではロバートが言い出して、悪魔が答えに到達しなかった計算をやってみましょう。
１１，１１１，１１１，１１１（１１桁）×１１，１１１，１１１，１１１（１１桁）＝
１２３，４５６，７９０，１２０，９８７，６５４，３２１（２１桁）
ちなみにエクセルで計算させると
⇒１２３，４５６，７９０，１２０，９８８，０００，０００
倍精度で計算させないといけないのでしょう。
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●第２夜
第２夜で「０」が登場します。「０」は引き算を経験することではじめて理解できる概念です。
第１夜では足し算が暗黙のうちに了解されていましたが、第２夜では引き算を意識的に扱うことで「０」を登場させました。
そして「０」を挟んで正の反対側にある負の数の世界に一気に踏み込んでいきます。
また第１夜でさりげなく使っていた「１１」や「１１１」の数字について「１が２個並んでいる」とか、「１が３個並んでいる」とかに理解するのではなく、「十一」とか「百十一」というように位取りをしてひとかたまりの数字として理解できるのも「０」のおかげだといっています。
「累乗」を「ホップ」すると表現して、「１０」の累乗を使った足し算で、１０以上の数字を表わす方法と意味について言及しています。
１９８６ ＝ ６×１+ ８×１０+ ９×１００+ １×１０００
１０＾１＝１０
１０＾２＝１００
１０＾３＝１０００
ここまで書いたのなら、１０＾０＝１とまで言い切っても悪魔ならＯＫだったのではないかと思うのですが、とうとう言わずにロバートの夢が覚めてしまいました。
----- ここまで 20120203 -----
●第３夜
素数
素数とは１とそれ自身以外には約数をもたない数（正整数）ということと、最大公約数とか最小公倍数とかを求めるにあたって、数字を素因数分解するとき素数を使った記憶があります。
エラトステネスのふるい以外には素数を見つけ出す方法はないでしょうか。
物質の世界ではこの世を構成する根源があるはずだとしてアトム（原子）を発見しましたが、やがて原子を構成する素粒子を見出され、さらに素粒子を構成するクォークが確認され、そして物質は極微のひもが振動して生成されるという理論に至っています。
数（整数）においては、素数は物質におけるアトム（原子）になぞらえられます。
物質のほうはひとつの根源にいきあたるはずだという信念をもって研究が進んでいますが、数（整数）における素数は無限にあることが証明されています。
素数においては、全ての素数を生成する方程式がはあるのか、というところに関心があるのでしょうか？
----- ここまで 20120207 -----
●第４夜
任意の整数をＮとした場合、「ホップする」とは、Ｎ^1とかＮ^2とかＮ^3とかで表しています。
現在のホップ数をｎとすると、「ホップする」とはＮ^(n+1)と、肩にあるｎを１増やすことなのです。
ですから「後ろにホップする」とはＮ^(n-1)と、肩にあるｎから１減ずることなのです。
一方「大根を抜く」と表現されているのは平方根をとることですから、Ｎ^nの平方根をとると、√（Ｎ^n）となって、指数表現では、Ｎ^(n/2)と肩にあるｎを２で割ることなのです。
第４夜の７２ページ６行目「【後ろにホップする】じゃなくて【大根を抜く】って言うんだ」の表現では、Ｎ^(n-1)＝Ｎ^(n/2)であるとの誤解を招く表現になっています。
ちなみに、この式が成立するのは、ｎの値が２のときです。
大根を抜いてわけの分からなくなった数字を、あっさり無理数と言ってしまいました。何が「無理」なとかは教えてくれていません。
その秘密は後日明かされるのかもしれません。無理数の対極にあるのが有理数で、有理数は分母と分子が整数同士の分数で表すことができる数のことです。
無理数は分数のような簡便な表記では記述できない、やっかいな数ということになります。
----- ここまで 20120217 -----
●第５夜
三角数と四角（平方）数
数列の考え方を自然なかたちで導入するために、まず視覚に訴えやすい図形から連想からはじめたのでしょう。
三角数は
自然数⇒１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ ⇒ ｎ
三角数⇒１ ３ ６ １０ １５ ２１ ２８ ３６ ４５ ５５ ⇒ （ｎ（ｎ＋１））／２
四角数は
奇□数⇒１ ３ ５ ７ ９ １１ １３ １５ １７ １９ ⇒ ２ｎ－１
四角数⇒１ ４ ９ １６ ２５ ３６ ４９ ６４ ８１ １００ ⇒ ｎ^2
数の連なりで言えば、いくらでもありそうな気がするのですが、形と数が結びつくとなにやら神秘的なものに思われてきます。
三角数や四角（平方）数があるならば、それ以上の五角数や六角数はあるのでしょうか？というのは普通に起こる疑問です。五角数や六角数があるばかりではなく、多角数ということで、いくらでもあるようです。
ｐ角数のとき、ｎ番目の数Ｎは次のとおりだそうです。
Ｎ＝（（ｐ－２）ｎ^2－（ｐ－４）ｎ）／２
だから
ｐ＝２ ⇒ Ｎ＝２ｎ
ｐ＝３ ⇒ （ｎ^2＋ｎ）／２
ｐ＝４ ⇒ Ｎ＝ｎ^2
ｐ＝５ ⇒ ｎ（３ｎ－１）
・・・
----- ここまで 20120218 -----
●第６夜
フィボナッチ
そもそもフィボナッチはどんな発想でフィボナッチ数を考えたのかと思ったら、このウサギの問題でした。原点なわけなのです。
１２０２年にフィボナッチの「算盤の書」に書かれている内容だそうです。
もともとはインドの数学がフィボナッチ数を発見しているのとのコトですが、書にし、世の出した者の名前がつくというのが歴史の示すところです。
数学を含む科学史は、１８世紀から１９世紀にかけて軍事科学に支えられたパワーによって世界を席巻した欧州を中心に記述されることが多いため、概して欧州の周辺の業績を正当には評価していないのが現実でした。
「１つがいのウサギは、産まれて２カ月後から毎月１つがいづつウサギを産む。１つがいのウサギは、１年間に何つがいのウサギになるか？」
悪魔とロバートが取り組んでいたのは、「算盤の書」に書かれていた問題ずばりだったんですね。
フィボナッチ数は自然のいたるところに顔を出していますよ、ということなのですが、・花びらの数はフィボナッチ数であることが多い・・・ ・ミツバチの家系を辿っていくと、フィボナッチ数列が現われる・・・ などなど。
惑星の公転周期とフィボナッチ数の関連を示す文書も散見されますが、あまりピンと来ません。
----- ここまで 20120219 -----